Perturbation luni-solaire

	CONTENU : Mis à jour 11 janvier 1999, revu sept 2011 I Rappels sur le problème à n corps Application de la loi fondamentale Notion de perturbation II Traitement de la perturbation d'un astre Potentiel associé à la perturbation Evaluation en orbite terrestre Ordre de grandeur de la perturbation

Afin de bien cerner l'origine des perturbations créées sur une orbite, par la Lune ou le Soleil, nous détaillons le calcul de ces forces perturbatrices en revenant au principe de base de la mécanique.

Il n'est pas question ici de traiter toutes les conséquences de ces perturbations mais seulement de dégager le mode de calcul permettant leur introduction dans les équations du mouvement.

I Rappels sur le problème des n corps :

Considérons un véhicule M de masse m, en mouvement sous l'action d'un corps central la terre et de 2 astres la Lune et le Soleil. Nous désirons tout naturellement rapporter le mouvement à un repère R de directions stellaires et d'origine le centre de la Terre. Un tel repère est par exemple le géocentrique équatorial.

1°) Loi fondamentale de la dynamique en axes galiléens

Cette loi ne peut s'appliquer que dans un repère inertiel ( galiléen )

Problème: notre repère R dont l'origine, la Terre, est soumise à l'attraction conjuguée de la lune et du soleil, n'est pas galiléen car cette origine a une accélération non nulle:

Us et U_L sont les unitaires pointant depuis la Terre le Soleil et la Lune et D_s, D_l les distances du soleil et de la lune à la Terre à l'instant du calcul.

Ces distances sont accessibles, si précision est souhaitée, par l'intermédiaire des éphémérides, à demander au Bureau des Longitudes à Paris ou grâce à des routines.

Le principe de relativité de Einstein - Galilée indique que la parade à cette difficulté consiste à rajouter aux forces réelles en jeu, les forces dites d'inertie.

Ces forces fictives se réduisent dans le cas où R est en translation par rapport à un galiléen, aux forces d'inertie d'entraînement de l'origine du repère c'est à dire de la Terre soumise aux attractions conjuguées du Soleil et de la Lune.

Il faudra donc ajouter exactement le vecteur accélération de la Terre vérifiant :

aux forces attractives extérieures réelles:

Finalement en axes relatifs du repère R nous aurons l'accélération du véhicule donnée par la relation ci-après, à utiliser telle quelle lorsque le véhicule est loin de la Terre et avec des développements limités au voisinage de la Terre, ce que nous montrons plus loin:

2°) Notion de perturbation :

La relation encadrée fait apparaître nettement 2 crochets représentant les accélérations perturbatrices créées par les 2 astres au regard de l'accélération considérée comme principale crée par l'attraction de la Terre.

II Traitement de la perturbation d'un astre.:

Restons généraux avec p indice de l'astre (p = s ou p = l), la perturbation est :

1°) Le potentiel associé :

A cette encore accélération ou force ( par kg ), on associe une énergie potentielle Up plus facile à traiter en tant que scalaire que les vecteurs, lors de développements limités.

Revenant aux définitions du potentiel et considérant que la variable est le rayon vecteur et non le temps t, le lecteur établira l'expression de l'énergie potentielle (au sens de la mécanique lagrangienne) grâce à la relation différentielle :

2°) Application au calcul de la force perturbatrice au voisinage de la Terre :

r reste petit devant Dp ce qui nous permet un développement limité à l'ordre 2 par rapport à r/D. Le calcul donne, en faisant intervenir l'angle S entre les 2 directions véhicule et Soleil vus depuis la Terre:

Nous rappelons que la force se calcule à partir du potentiel par le gradient (à temps bloqué) c'est à dire uniquement par rapport à la position r(x, y, z).

L'expression cartésienne du potentiel découle des coordonnées x y z du véhicule et du calcul de l'angle S par les relations

On trouve ainsi l'expression de la perturbation utilisable dans une simulation numérique au voisinage de la Terre, où a, b, g désignent les cosinus directeurs de la direction du Soleil vu depuis la terre

3°) Ordre de grandeur de la perturbation :

Plaçons nous dans un cas simple, mais réaliste d'une orbite dans l'écliptique, le soleil pointé par l'unitaire J.

Alors a = 0, b = 1, g = 0.

CAS DU SOLEIL : ms = 13.27 10^19 m^3s^-2

D = 1.5 10^11 m

Parcourons les sommets de l'orbite et indiquons dans le tableau le niveau des accélérations perturbatrices en m/s² :

Périgée	C (petit axe)	Apogée	D( (petit axe)
Fx = - 2.6 10^-6 Fy = 0	Fx = - 6.6 10^-7 Fy = 8.4 10^-7	Fx =1.68 10^-6 Fy =0	Fx = 6.6 10^-7 Fy = 8.4 10^-7

Le lecteur maintenant averti du mode de calcul de la perturbation, montrera que la perturbation lunaire a des effets nettement plus importants.

Les ouvrages spécialisés du CNES, en particulier traitent les conséquences de cette perturbations dans le plus grand détail.

CAS DE LA LUNE : mL = 4.89 10^11 m^3s^-2

DL = 3.84 10^8 m

Supposant la lune disposée sur l'axe x₂ comme le soleil précédemment mais naturellement plus près ( à environ 384000 km de la Terre) des calculs analogues montrent qu'il faut multiplier les résultats par 2.2

Périgée	C (petit axe)	Apogée	D( (petit axe)
Fx = - 5.72 10^-6 Fy = 0	Fx = - 1.45 10^-6 Fy = 1.85 10^-6	Fx =3.7 10^-6 Fy =0	Fx = 1.45 10^-6 Fy = 1.85 10^-6

Guiziou Robert 1993 /rev 1998/sept 2011